【题目】已知函数,且
.
(1)判断并证明在区间
上的单调性;
(2)若函数与函数
在
上有相同的值域,求
的值;
(3)函数,若对于任意
,总存在
,使得
成立,求
的取值范围.
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,准线为
,
与
轴的交点为
,点
在抛物线
上,过点
作
于点
,如图1.已知
,且四边形
的面积为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若正方形的三个顶点
,
,
都在抛物线
上(如图2),求正方形
面积的最小值.
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【题目】我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数的不足近似值和过剩近似值分别为
和
,则
是
的更为精确的近似值.
我们知道,我国早在《周髀算经》中就有“周三径一”的古率记载,《隋书律历志》有如下记载:“南徐州从事史祖冲之更开密法,以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈肭二限之间。密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二”,这一记录指出了祖冲之关于圆周率的两大贡献:其一是求得圆周率
;其二是得到
的两个近似分数即:约率为22/7,密率为355/113,他算出的
的8位可靠数字,不但在当时是最精密的圆周率,而且保持世界纪录一千多年,他对
的研究真可谓“运筹于帷幄之中,决胜于千年之外”,祖冲之是我国古代最有影响的数学家之一,莫斯科大学走廊里有其塑像,1959年10月,原苏联通过“月球3”号卫星首次拍下月球背面照片后,就以祖冲之命名一个环形山,其月面坐标是:东经148度,北纬17度.
纵横古今,关于值的研究,经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期,己知
,试以上述
的不足近似值
和过剩近似值
为依据,那么使用两次“调日法”后可得
的近似分数为____________
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【题目】已知数列中,
,点
在直线
上,其中
.
(1)令,求证数列
是等比数列;
(2)求数列的通项;
(3)设、
分别为数列
、
的前
项和是否存在实数
,使得数列
为等差数列?若存在,试求出
,若不存在,则说明理由.
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【题目】国庆期间,一位游客来到某旅游城市,这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点,若这位游客游览这三个景点的概率分别是,且客人是否游览哪个景点互不影响,设
表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求的分布列和数学期望;
(Ⅱ)记“时,不等式
恒成立”为事件
,求事件
发生的概率.
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【题目】在极坐标系中,已知圆的圆心为
,半径为
.以极点为原点,极轴方向为
轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数,
且
).
(Ⅰ)写出圆的极坐标方程和直线
的普通方程;
(Ⅱ)若直线与圆
交于
、
两点,求
的最小值.
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【题目】(12分)
炼钢是一个氧化降碳的过程,由于钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.现已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据,如下表所示:
(1)据统计表明,之间具有线性相关关系,请用相关系数r加以说明(
,则认为y与x有较强的线性相关关系,否则认为没有较强的线性相关关系,r精确到0.001);
(2)建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01);
(3)根据(2)中的结论,预测钢水含碳量为160个0.01%的冶炼时间.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
,相关系数
参考数据:,
.
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【题目】下列命题说法中正确的是
A. 对于实数,“
”是
或
的充分不必要条件
B. 已知都是整数,则命题“若
,则
不都是奇数”是假命题
C. “若,则关于
的方程
有实根”的逆否命题为假命题
D. 命题“全等三角形的面积相等”的否命题为真命题
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【题目】已知下面四个命题:
①“若,则
或
”的逆否命题为“若
且
,则
”
②“”是“
”的充分不必要条件
③命题“若,则
”的逆否命题为真命题
④若为假命题,则
、
均为假命题,其中真命题个数为( )
A. B.
C.
D.
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