Question

【题目】已知数列中，，点在直线上，其中.

（1）令，求证数列是等比数列；

（2）求数列的通项；

（3）设、分别为数列、的前项和是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出，若不存在，则说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明过程见详解；（2）；（3）存在实数，使得数列为等差数列.

【解析】

（1）先由题意得到，再由，得到，即可证明结论成立；

（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出数列的通项；

（3）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．

（1）因为点在直线上，所以，因此

由得

所以数列是以为公比的等比数列；

（2）因为，由得，故，

由（1）得，

所以，即，

所以，，…，，

以上各式相加得：

所以；

（3）存在λ＝2，使数列是等差数列．

由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2

∴

又=

∴，

∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．