Question

【题目】在四棱锥中，平面平面，，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）（3）见解析

【解析】

（1）由面面垂直的性质得面，即可证明面（2）取中点为，连结，，证明， 以为原点，如图建系易知，，，，求面及面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可（3）假设存在点使得∥面， 设，由∥面，为的法向量，得，

（1）∵面面，面面，

∵，面，∴面，

∵面， ∴，

又，∴面，

（2）取中点为，连结，，

∵， ∴，

∵， ∴，

以为原点，如图建系易知，，，，

则，，，，

设为面的法向量，令．，

设为面的法向量，令．

，

则二面角余弦值为

故二面角正弦值为

（3）假设存在点使得∥面， 设，，

由（2）知，，，，

有∴

∵∥面，为的法向量，

∴，即，得

综上，存在点，即当时，点即为所求．