Question

【题目】已知椭圆的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，的面积是的面积的倍．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线（）与椭圆交于，，连接，并延长交椭圆于，，连接，指出与之间的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】

（1）由题意可求得，，从而可得椭圆的方程．（2）设，则，可得直线的方程为，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，然后根据二次方程根与系数的关系得到点的坐标．同理可得点的坐标，最后通过计算可得．

（1）由的面积是的面积的倍，可得，即，

又，

所以，

由在椭圆上，可得，

所以，

可得，，

所以椭圆的方程为．

（2）设，则，

故直线的方程为，

由消去整理得，

又，

代入上式化简得，

设，，

则，

所以，．

又直线的方程为，

同理可得，．

所以，

所以．