【题目】国庆期间,一位游客来到某旅游城市,这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点,若这位游客游览这三个景点的概率分别是,且客人是否游览哪个景点互不影响,设
表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求的分布列和数学期望;
(Ⅱ)记“时,不等式
恒成立”为事件
,求事件
发生的概率.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(I)用表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,根据客人游览的景点数的可能取值为
和客人没有游览的景点数的可能取值为
,写出变量的可能取值,根据相互独立事件同时发生的概率,求解每个随机变量取值对应的概率,得出分布列,求得数学期望.
(Ⅱ)由不等式恒成立,有
恒成立,分
和
讨论,即可得到答案.
(I)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点”为事件 由已知
相互独立,
,客人游览的景点数的可能取值为
. 相应地,客人没有游览的景点数的可能取
值为,所以
的可能取值为
.
所以的分布列为
1 | 3 | |
P | 0.76 | 0.24 |
1×0.76+3×0.24=1.48.
(Ⅱ)的可能取值为1,3.且
时,不等式
恒成立,
有恒成立,即
当=1时,不等式
恒成立,
当=3时,不等式
不会恒成立.
所以.
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇到行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
不“礼让斑马线”驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 85 | 90 | 80 |
(Ⅰ)请根据表中所给前5个月的数据,求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份
之间的回归直线方程
;
(Ⅱ)若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5,则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据(Ⅰ)中的回归直线方程,判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”?
(Ⅲ)若从表中3、4月份分别选取4人和2人,再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查,求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式:
,
.
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【题目】如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“阿当数列”.
(1)若数列为“阿当数列”,且
,
,
,求实数
的取值范围;
(2)是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”,且其前
项和
满足
?若存在,请求出
的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知等比数列的每一项均为正整数,且
为“阿当数列”,
,
,当数列
不是“阿当数列”时,试判断数列
是否为“阿当数列”,并说明理由.
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【题目】已知函数,且
.
(1)判断并证明在区间
上的单调性;
(2)若函数与函数
在
上有相同的值域,求
的值;
(3)函数,若对于任意
,总存在
,使得
成立,求
的取值范围.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,曲线的极坐标方程是
,以极点为原点
,极轴为
轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系
中,曲线
的参数方程为:
(
为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与曲线
的普通方程;
(2)将曲线经过伸缩变换
后得到曲线
,若
,
分别是曲线
和曲线
上的动点,求
的最小值.
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