Question

已知函数f(x)=

1

2

(x-1)2+lnx-ax+a．
（Ⅰ）若a=

3

2

，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，从而求出极值；
（II）先求出f′(x)=x+

1

x

-(1+a)，当x∈（1，3）时，x+

1

x

∈(2，

10

3

)，然后讨论1+a与区间（2，

10

3

）的位置关系，研究函数的单调性，求出函数的最小值，使对任意的x∈（1，3），都有f（x）_min＞0成立即可．

解答：解：（I）f′(x)=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

，f'（x）=0，得x1=

1

2

，或x₂=2，
列表：

函数f（x）在x=

1

2

处取得极大值f(

1

2

)=

7

8

-ln2，
函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2-1；（4分）
（II）：f′(x)=x+

1

x

-(1+a)，x∈（1，3）时，x+

1

x

∈(2，

10

3

)，（5分）
（i）当1+a≤2，即a≤1时，x∈（1，3）时，
f'（x）＞0，函数f（x）在（1，3）是增函数?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；（7分）
（ii）当1+a≥

10

3

，即a≥

7

3

时，x∈（1，3）时，
f'（x）＜0，函数f（x）在（1，3）是减函数?x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合题意（9分）
（iii）当2＜1+a＜

10

3

，即1＜a＜

7

3

时，x∈（1，3）时，
f'（x）先取负，再取，最后取正，函数f（x）在（1，3）先递减，再递增，
而f（1）=0，∴?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；（11分）
综上，a的取值范围是a≤1．（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．