Question

已知函数y=2sin（

π

3

-4x）．
（Ⅰ）求函数的周期及单调区间；
（Ⅱ）求函数的最大值及最小值并写出取最值时自变量x的集合．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用诱导公式化数y=2sin（

π

3

-4x）为y=-2sin(4x-

π

3

)，然后直接利用周期公式求周期，由复合函数的单调性求单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的单调区间直接得到函数的最值及取得最值时的x的集合．

解答： （Ⅰ）函数y=2sin(

π

3

-4x)=-2sin(4x-

π

3

)
则周期T=

2π

4

=

π

2

．
2sin(4x-

π

3

)的单调递增区间即原函数的单调递减区间．
由-

π

2

+2kπ≤4x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得原函数的单调递减区间为[-

π

24

+

kπ

2

，

5π

24

+

kπ

2

]k∈Z．
由

π

2

+2kπ≤4x-

π

3

≤

3

2

π+2kπ，
解得原函数的单调递增区间为[

5π

24

+

kπ

2

，

11π

24

+

kπ

2

]k∈Z；
（Ⅱ）由于函数在[-

π

24

+

kπ

2

，

5π

24

+

kπ

2

]k∈Z单调递减，
∴当x∈{x|x=-

π

24

+

kπ

2

，k∈Z}时函数取得最大值为2．
当x∈{x|x=

5π

24

+

kπ

2

，k∈Z}时函数取得最小值为-2．

点评：本题考查了三角函数的周期性及求法，考查了与三角函数有关的符合函数的单调性，考查了三角函数的最值，是基础题．