Question

设等差数列{b_n}满足b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100．
（1）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）若a_n=lg（1+

1

bn

），S_n为数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与

1

2

lgb_n+1的大小．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由10+

10×9

2

d=100，得d=2，由此能求出b_n=2n-1．
（2）由a_n=lg（1+

1

bn

）=lg（1+

1

2n-1

），得S_n=lg[（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）]，?

1

2

lgb_n+1=lg

2n+1

．?因此要比较S_n与

1

2

lgb_n+1的大小，可先比较（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）与

2n+1

的大小．由此利用数学归纳法能证明S_n＞

1

2

lgb_n+1．

解答： 解：（1）∵等差数列{b_n}满足b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100，
∴10+

10×9

2

d=100，解得d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）a_n=lg（1+

1

bn

）=lg（1+

1

2n-1

），
∴S_n=lg（1+1）+lg（1+

1

3

）+…+lg（1+

1

2n-1

）
=lg[（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）]，?

1

2

lgb_n+1=lg

2n+1

．?
因此要比较S_n与

1

2

lgb_n+1的大小，可先比较（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）与

2n+1

的大小．?
取n=1有（1+1）＞

2+1

，取n=2有（1+1）（1+

1

3

）＞

4+1

，…
由此推测（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

．①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：S_n＞

1

2

lgb_n+1．?
 下面用数学归纳法证明①式．?
（i）当n=1时已验证①式成立．?
（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）＞

2k+1

．?
那么，当n=k+1时，（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2(k+1)+1

）＞

2k+1

（1+

1

2k+1

）
=

2k+1

2k+1

（2k+2），?
∵[

2k+1

2k+1

（2k+2）]²-（

2k+3

）²=

4k2+8k+4-(4k2+8k+3)

2k+1

=

1

2k+1

＞0
∴

2k+1

2k+1

（2k+2）＞

2k+3

=

2(k+1)+1

．
因而（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2(k+1)+1

．?
这就是说①式当n=k+1时也成立．?
由（i），（ii）知①式对任何正整数n都成立．?
由此证得：S_n＞

1

2

lgb_n+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．