Question

已知：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和增区间；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用正弦函数的性质求得函数的单调增区间．
（2）根据x的范围确定2x+

π

6

的范围，进而确定sin（2x+

π

6

）的范围，则函数的最大和最小值的表达式可得，最后相加即可求得a．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∴T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）_max=2+1+a，f（x）_min=-1+a+1=a，
∴3+a+a=3，a=0．

点评：本题主要考查了二倍角公式和两角和公式的应用，三角函数图象与性质．考查了学生基础知识的掌握和一定的运算能力．