Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_n+1=3S_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

n   当n为奇数 an 当n为偶数

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出数列{a_n}（n≥2，n∈Z）是以4为公比的等比数列，由此能求出a_n=

2，n=1 6•4n-2，n≥2

．
（2）由b_n=

n   当n为奇数 an 当n为偶数

，知当n=2k+1，k∈N^*时，T_n=[1+3+5+…+（2k+1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）
=（k+1）²+（6+6•4²+6•4⁴+…+6•4^2k-2）；当n=2k，k∈N^*时，T_n=[1+3+5+…+（2k-1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）=

k(1+2k-1)

2

+（6+6•4²+6•4⁴+…+6•4^2k-2），由此能求出结果．

解答： 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_n+1=3S_n，
由a_n+1=3S_n①，
得a_n+2=3S_n+1②，
②-①得：a_n+2-a_n+1=3a_n+1
∴

an+2

an+1

=4
∴数列{a_n}（n≥2，n∈Z）是以4为公比的等比数列
其中，a₂=3S₁=3a₁=6
∴a_n=

2，n=1 6•4n-2，n≥2

．
（2）∵b_n=

n   当n为奇数 an 当n为偶数

，
∴当n=2k+1，k∈N^*时，
T_n=[1+3+5+…+（2k+1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）
=（k+1）²+（6+6•4²+6•4⁴+…+6•4^2k-2）
=（k+1）²+

6(1-16k)

1-16

=

(n+1)2

4

+

6(1-16 n-1 2 )

1-16

=

(n+1)2

4

-

2

5

（1-4^n-1）．
当n=2k，k∈N^*时，
T_n=[1+3+5+…+（2k-1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）
=

k(1+2k-1)

2

+（6+6•4²+6•4⁴+…+6•4^2k-2）
=k²+

6(1-16k)

1-16

=

n2

4

-

2

5

(1-4n)．
∴Tn=

(n+1)2 4 - 2 5 (1-4n-1)，n为奇数 n2 4 - 2 5 (1-4n)，n为偶数

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前m项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．