Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d=2，且S₅=4a₃+6．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

bn

an

}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由已知条件得bn=an•cn-1=2n•cn-1．当c-1时，b_n=2n．Tn=

n(2+2n)

2

=n（n+1）=n²+n；当c≠1时，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为公差d=2，且S₅=4a₃+6，
所以5a₁+

5×4

2

×2=4[a1+(3-1)×2]+6．…（2分）
解得a₁=2．…（4分）
所以等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．…（5分）
（Ⅱ）因为数列{

bn

an

}是首项为1，公比为c的等比数列，
所以

bn

an

=cn-1．…（6分）
所以bn=an•cn-1=2n•cn-1．…（7分）
（1）当c-1时，b_n=2n．…（8分）
所以Tn=

n(2+2n)

2

=n（n+1）=n²+n．…（9分）
（2）当c≠1时，Tn=2•c0+4•c+6•c2+…+2(n-1)•cn-2+2n•c^n-1，①…（9分）
cTn=2c+4c2+6c3+…+2(n-1)•cn-1+2n•cn，②…（10分）
①-②得(1-c)Tn=2c0+2c1+2c2+…+2cn-1-2n•cⁿ …（11分）
=

2(1-cn)

1-c

-2n•cn，…（12分）
∴Tn=

2(1-cn)

(1-c)2

-

2ncn

1-c

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．