Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=

3

，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到P点，且P在平面ABD上的射影O恰好在AB上．

（1）求证：PB⊥PA；
（2）求点A到平面PBD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明DA⊥平面PAB，PB⊥平面PAD，即可证明PB⊥PA；
（2）利用等体积转换，即可求点A到平面PBD的距离．

解答： （1）证明：由题意可得，PO⊥平面ABD
∵DA?平面ABD，
∴PO⊥DA，
由题意可知，∠DAB=90°，即DA⊥AB，且PO∩AB=O，
∴DA⊥平面PAB，又BP?平面PAB，
∴DA⊥BP，
∵PB⊥PD，DA∩PD=D，
∴PB⊥平面PAD，
∴PA?平面PAD，
∴PB⊥PA；
（2）解：设点A到平面PBD的距离为h，则
△PBA中，AB=3

3

，PC=BC=

3

，∴PO=

2 6

3

，
∵S_△PBA=

1

2

×3

3

×

2 6

3

=3

2

，S_△PBD=

1

2

×3

3

×

3

=

9

2

，
∴由等体积可得

1

3

•

9

2

h=

1

3

•3

2

•

2 6

3

，
∴h=

8 3

9

．

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中等题．