Question

A高校自主招生设置了先后三道程序：部分高校联合考试、本校专业考试、本校面试．在每道程序中，设置三个成绩等级：优、良、中．若考生在某道程序中获得“中”，则该考生在本道程序中不通过，且不能进入下面的程序．考生只有全部通过三道程序，自主招生考试才算通过．某中学学生甲参加A高校自主招生考试，已知该生在每道程序中通过的概率均为

3

4

，每道程序中得优、良、中的概率分别为p₁、

1

2

、p₂．
（1）求学生甲不能通过A高校自主招生考试的概率；
（2）设X为学生甲在三道程序中获优的次数，求X的概率分布及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）由题意，得

p1+ 1 2 = 3 4 p1+p2= 1 2

，解得p₁=p₂=

1

4

．由此能求出学生甲不能通过A高校自主招生考试的概率．
（2）由题意知，X=0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布及数学期望．

解答： 解：（1）由题意，得

p1+ 1 2 = 3 4 p1+p2= 1 2

，解得p₁=p₂=

1

4

．
设事件A为学生甲不能通过A高校自主招生考试，
则P（A）=

1

4

+

3

4

×

1

4

+

3

4

×

3

4

×

1

4

=

37

64

．
∴学生甲不能通过A高校自主招生考试的概率为

37

64

．
（2）由题意知，X=0，1，2，3．
P（X=0）=

1

4

+

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

9

16

，
P（X=2）=

1

4

×

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

1

2

+

1

4

×

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

4

×

1

4

=

7

64

，
P（X=3）=

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

64

，
∵

3

i=0

P（X=i）=1，
∴P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）-P（X=3）=

5

16

．
∴X的概率分布为：

X	0	1	2	3
P	9 16	5 16	7 64	1 64

X的数学期望E（X）=0×

9

16

+1×

5

16

+2×

7

64

+3×

1

64

=

37

64

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．