Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄
（2）求证：数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，可求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）由a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，可得

an+2

an

=

1

2

，根据等比数列的定义判定出数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列．

解答： （1）解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，
∴a₁=1，a₂=

1

2

，a₃=

1

2

，a₄=

1

4

；
（2）证明：∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，
∴

an+2

an

=

1

2

，
∴数列a₁，a₃，…a_2n-1，是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列；
数列a₂，a₄，…，a_2n，是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．

点评：本题主要考查了等比关系的确定．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握．