Question

各项均为正数的数列{x_n}对一切n∈N^*均满足x_n+

1

xn+1

＜2．证明：
（1）x_n＜x_n+1；
（2）1-

1

n

＜x_n＜1．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）通过不等式的基本性质，化简证明即可．
（2）利用数学归纳法的证明步骤，结合放缩法证明即可．

解答： 解：（1）因为x_n＞0，xn+

1

xn+1

＜2，
所以0＜

1

xn+1

＜2-xn，
所以xn+1＞

1

2-xn

，且2-x_n＞0．
因为

1

2-xn

-xn=

x 2 n -2xn+1

2-xn

=

(xn-1)2

2-xn

≥0．
所以

1

2-xn

≥xn，
所以xn≤

1

2-xn

＜xn+1，即x_n＜x_n+1．                …4分
（注：用反证法证明参照给分）
（2）下面用数学归纳法证明：xn＞1-

1

n

．
①当n=1时，由题设x₁＞0可知结论成立；
②假设n=k时，xk＞1-

1

k

，
当n=k+1时，由（1）得，xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2-(1- 1 k )

=

k

k+1

=1-

1

k+1

．
由①，②可得，xn＞1-

1

n

．                     …7分
下面先证明x_n≤1．
假设存在自然数k，使得x_k＞1，则一定存在自然数m，使得xk＞1+

1

m

．
因为xk+

1

xk+1

＜2，xk+1＞

1

2-xk

＞

1

2-(1+ 1 m )

=

m

m-1

，xk+2＞

1

2-xk+1

＞

1

2-(1+ 1 m-1 )

=

m-1

m-2

，…，xk+m-1＞

m-(m-2)

m-(m-1)

=2，
与题设xk+

1

xk+1

＜2矛盾，所以，x_n≤1．
若x_k=1，则x_k+1＞x_k=1，根据上述证明可知存在矛盾．
所以x_n＜1成立．                                …10分．

点评：本题考查数列与不等式的证明方法，数学归纳法的应用，也可以利用反证法证明．