Question

已知等比数列{a_n}是递增数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，若a₁、a₃是方程x²-5x+4=0的两个根，设b_n=2n•a_n，求数列{bn}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出an=2n-1．从而得到b_n=2n•a_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

解答： 解：∵等比数列{a_n}是递增数列，a₁、a₃是方程x²-5x+4=0的两个根，
∴a₁＜a₃，q＞0，解方程x²-5x+4=0，得x₁=1，x₂=4，
∴a₁=1，a₃=4，∴q²=4，解得q=2，或q=-2（舍），
∴an=2n-1．
∴b_n=2n•a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．