Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由离心率为

2

2

，可得a²=2b²，代入点（0，-1），可求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入

OA

+

OB

=t

OP

后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题知离心率为

2

2

，所以

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．
又因为过点（0，-1），所以b²=1，a²=2．
故C的方程为

x2

2

+y2=1…（3分）
（Ⅱ）由题意知直线直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由y=k（x-2）代入

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，
∴k²＜

1

2

．  …（5分）
x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

∵

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

-4k

t(1+2k2)

．…（8分）
∵点P在椭圆上，∴

64k4

t2(1+2k2)2

+2•

16k2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²），
∴t²=

16

1 k2 +2

＜

16

2+2

=4，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整数值为1．…（12分）

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．