Question

若不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，则实数a的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，对a分三种情况讨论，每种情况先将不等式x²-|a|x+a-1＞0变形整理，分析该不等式在（1，2）恒成立的条件，综合可得a的取值范围，进而可得a的最大值，即可得答案．
解答：解：①a＞0时，不等式x²-|a|x+a-1＞0⇒x²-ax+a-1＞0⇒（x-1）[x-（a-1）]＞0，
不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
即（x-1）[x-（a-1）]＞0在（1，2）上恒成立，
必有a-1≤1，即a≤2，
则当0＜a≤2时，不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
②a=0时，不等式x²-|a|x+a-1＞0⇒x²-1＞0，
x∈（1，2）时，x²-1＞0成立，
即a=0时不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
③a＜0时，不等式x²-|a|x+a-1＞0⇒x²+ax+a-1＞0⇒（x-1）[x-（-a-1）]＞0，
又由a＜0，则-a-1＜-1＜1，
x∈（1，2）时，（x-1）[x-（-a-1）]＞0恒成立，
则不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
综合可得a的取值范围是a≤2，
则实数a的最大值为2；
故答案为a=2．
点评：此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．