Question

若不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：对a进行分类讨论①a＞0；②a＜0．将x²-|a|x+a-1进行分解因式，解不等式，从而求解实数a的最大值．
解答：解：①当a＞0，不等式x²-|a|x+a-1=x²-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]＞0，
∵不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
∴a-1≤1，
∴a≤2，
∴实数a的最大值为2；
②当a＜0时，不等式x²-|a|x+a-1=x²+ax+a-1=（x+1）[x+（a-1）]＞0，
∴x＜-1或x＞1-a
∵不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
∴1-a≤1，
∴a≥0，
∴实数a不存在．
综上，实数a的最大值为2；
故选B．
点评：此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．