Question

已知

a

=(1，0)，

b

=(-

3

2

，-

1

2

)，

c

=(

3

2

，-

1

2

)，x

a

+y

b

+z

c

=(1，1)，则x²+y²+z²最小值为

12

5

．

Answer 1

分析：根据向量线性运算的坐标表示，算出

x= 3 y+1+ 3 z=-2-y

，由此将x²+y²+z²转化成关于y的二次函数，结合二次函数的性质即可求出x²+y²+z²的最小值．

解答：解：∵

a

=(1，0)，

b

=(-

3

2

，-

1

2

)，

c

=(

3

2

，-

1

2

)，x

a

+y

b

+z

c

=(1，1)，
∴

x- 3 2 y+ 3 2 z=1 - 1 2 y- 1 2 z=1

，可解出

x= 3 y+1+ 3 z=-2-y

因此，x²+y²+z²=（

3

y+1+

3

）²+y²+（-2-y）²=5y²+（10+2

3

）y+8+2

3

根据二次函数的性质，得当y=-

10+2 3

10

=-1-

3

5

时，
x²+y²+z²取得最小值，最小值为

12

5

此时x=

2

5

，y=-1-

3

5

，z=-1+

3

5

故答案为：

12

5

点评：本题给出向量的坐标和向量等式，求系数平方和的最小值，着重考查了向量线性运算的坐标表示、三元一次方程组的处理和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．