Question

在二项式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．
（1）求它是第几项；
（2）求

a

b

的范围．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式确定出展开式中的常数项是第几项是解决本小题的关键；
（2）通过系数最大列出关于a，b的不等式，通过整体思想确定出

a

b

的范围．蕴含了不等式思想．

解答：解：（1）设T_r+1=C₁₂^r（ax^m）^12-r•（bxⁿ）^r=C₁₂^ra^12-rb^rx^{m（12-r）+nr}为常数项，
则有m（12-r）+nr=0，即m（12-r）-2mr=0，∴r=4，它是第5项．
（2）∵第5项又是系数最大的项，
∴有

C 4 12 a8b4≥ C 3 12 a9b3 ①   c 4 12 a8b4≥  c 5 12 a7b5  ②

由①得a⁸b⁴≥

4

9

a⁹b³，
∵a＞0，b＞0，∴

9

4

b≥a，即

a

b

≤

9

4

．
由②得

a

b

≥

8

5

，
∴

8

5

≤

a

b

≤

9

4

．

点评：本题考查二项是展开式的特定项是哪一项，考查方程思想，转化思想，整体找出所求表达式的范围，关键要建立合适的不等式．