试题分析:(Ⅰ)证明函数
在
内至少有一个零点,可由零点的存在性定理考察
和
的符号,若
且
,则结论成立,若
,可将区间
进行适当分割,再依上面方法进行,直到找到函数的零点的存在区间;(Ⅱ)易知
,从而求出
的值.
①不等式
恒成立可化分离参数转化为求函数在区间
上的最值问题,这是一个普通的三角函数问题,通过判断三角函数的单调性容易解决;②函数在一个已知区间上为增函数,求参数的取值范围问题,通常有两种方法,一是用在这个区间上导函数的符号确定,一般三角函数不用此方法,二是求出函数的单调递增区间,它必包含已知区间,然后考察参数的取值范围.
试题解析:(1)证明:
,
所以,函数
在
内至少有一个零点 4分
(2)
由已知得:
所以a=2,
所以
5分
①不等式
恒成立可化为:
记函数
,所以
在
恒成立 8分
函数
在
上是增函数,最小值为
所以
, 所以
的取值范围是
10分
②由
得:
,所以
11分
令
,可得
13分
∵函数
在区间(
)上是单调增函数,
∴
14分
∴
,
∵
,∴
,
∴
∴
16分