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已知函数(a,b均为正常数).
(1)求证:函数内至少有一个零点;
(2)设函数在处有极值,
①对于一切,不等式恒成立,求的取值范围;
②若函数f(x)在区间上是单调增函数,求实数的取值范围.
 (1)详见解析;(Ⅱ)①.

试题分析:(Ⅰ)证明函数内至少有一个零点,可由零点的存在性定理考察的符号,若,则结论成立,若,可将区间进行适当分割,再依上面方法进行,直到找到函数的零点的存在区间;(Ⅱ)易知,从而求出的值.
①不等式恒成立可化分离参数转化为求函数在区间上的最值问题,这是一个普通的三角函数问题,通过判断三角函数的单调性容易解决;②函数在一个已知区间上为增函数,求参数的取值范围问题,通常有两种方法,一是用在这个区间上导函数的符号确定,一般三角函数不用此方法,二是求出函数的单调递增区间,它必包含已知区间,然后考察参数的取值范围.
试题解析:(1)证明:

所以,函数内至少有一个零点             4分
(2)由已知得:所以a=2,
所以                                                         5分
①不等式恒成立可化为:
记函数
,所以恒成立                    8分
函数上是增函数,最小值为
所以, 所以的取值范围是                                     10分
②由得:,所以                  11分
,可得                 13分
∵函数在区间()上是单调增函数,
                                     14分

,∴  ∴   ∴                           16分
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