Question

设函数f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a≥0，b，c∈R
（1）若f（）=0，求f（x）的单调区间；
（2）设M表示f′（0）与f′（1）两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤M．

Answer 1

解：（1）由，得a=b．
当a=0时，则b=0，f（x）=c不具备单调性．
当a＞0时，可得f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f^′（x）=a（3x²-4x+1）=0得x₁=，x₂=1．
列表：

x	（-∞，）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-∞，）及（1，+∞）．单调减区间是．
（2）当a=0时，f^′（x）=-2bx+b，
若b=0，则f^′（x）=0，
若b＞0，或b＜0，f^′（x）在[0，1]是单调函数，-f^′（0）=f^′（1）≤f^′（x）≤f^′（0），
或-f^′（1）=f^′（0）≤f^′（x）≤f^′（1）．
∴|f^′（x）|≤M．
当a＞0时，f^′（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3．
①当或时，则f^′（x）在[0，1]上是单调函数，
∴f^′（1）≤f^′（x）≤f^′（0）或f^′（0）≤f^′（x）≤f^′（1），且f^′（0）+f^′（1）=a＞0．
∴-M≤f^′（x）≤M．
②当，即-a＜b＜2a，则．
（i） 当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．
∴==≥＞0．
∴-M＜f^′（x）≤M．
（ii） 当＜b＜2a时，则＜0，即a²+b²-＜0．
∴=＞＞0，即．
∴-M＜f^′（x）≤M．
综上所述：当0≤x≤1时，|f^′（x）|≤M．
分析：（1）由，得a=b．当a＞0时，通过求导，利用导数与单调性的关系列出表格即可得出单调区间；
（2）对a，b分类讨论，利用二次函数的单调性即可证明．
点评：熟练掌握导数与单调性的关系并列出表格、分类讨论的思想方法、二次函数的单调性设解题的关键．