Question

已知函数f（x）=2cos²x+2sinxsin（x+

π

2

），
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，根据二倍角公式化简函数解析式：f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，然后，根据周期公式进行求解；
（Ⅱ）根据x∈[0，

π

2

]，从而确定

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，然后，根据三角函数的图象与性质进行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1
=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴T=

2π

2

=π
∴f（x）的最小正周期π，
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴0≤f（x）≤1+

2

，
∴函数在区间[0，

π

2

]上的值域为[0，1+

2

]．

点评：本题综合考查了二倍角公式、周期公式、三角函数的单调性等知识，属于中档题．