Question

已知f（x），g（x）是定义在R上的两个函数，f（0）=1，且对于任意实数x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），求证：
（1）对任意x∈R都有f²（x）+g²（x）=1；
（2）f（x）是偶函数．

Answer 1

分析：（1）在恒等式f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y）中，令y=x，即可证得结论；
（2）在恒等式f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y）中，令x=y=0，可求得g（0），再令x=0，即可证得结论．

解答：证明：（1）∵任意实数x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），
∴令y=x，则有f（0）=f²（x）+g²（x），
∵f（0）=1，
∴任意x∈R都有f²（x）+g²（x）=1．
（2））∵任意实数x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），
∴令x=y=0，则有f（0）=f²（0）+g²（0），
∵f（0）=1，
∴g（0）=0，
再令x=0，则有f（-y）=f（0）f（y）+g（0）g（y），
∴f（-y）=f（y），
令y=x，则有f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．

点评：本题考查了抽象函数及其应用以及函数奇偶性的判断．抽象函数给定恒等式时，关键是根据所要求的表达式进行恰当的赋值，证明函数的奇偶性一般运用奇偶函数的定义，但要特别注意先要求解定义域，判断定义域是否关于原点对称．属于基础题．