Question

设0＜α≤β≤γ，且α+β+γ=π，则min{

sinβ

sinα

，

sinγ

sinβ

}的取值范围为

[1，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：由题意可得α，β，γ 分别是△ABC的三内角A、B、C，故a≤b≤c，当

b

a

≤

c

b

时，min{

sinβ

sinα

，

sinγ

sinβ

}=min{

b

a

，

c

b

}≥1，此时，b²≤ac＜a（a+b），故 (

b

a

)2-

b

a

-1＜0，由此求得

b

a

的范围，当

b

a

≥

c

b

时，同理求得

c

b

的范围，由此得出结论．

解答：解：设0＜α≤β≤γ，且α+β+γ=π，故α，β，γ  分别是△ABC的三内角A、B、C，∴a≤b≤c，
则 min{

sinβ

sinα

，

sinγ

sinβ

 } 即 min{ 

b

a

，

c

b

 }．
当

b

a

≤

c

b

时，即 b²≤ac 时，min{

b

a

，

c

b

}=

b

a

≥1，此时，b²≤ac＜a（a+b）=a²+ab，
∴(

b

a

)2-

b

a

-1＜0，解得

1- 5

2

＜

b

a

＜

1+ 5

2

．
综合可得 1≤

b

a

＜

1+ 5

2

．
当

b

a

≥

c

b

时，即 b²≥ac 时，min{

b

a

，

c

b

}=

c

b

≥1，此时，b² ≥ac，再由a+b＞c 可得a＞c-b，∴b²＞c（c-b）．
∴(

c

b

)2-

c

b

-1＜0，解得

1- 5

2

＜

c

b

＜

1+ 5

2

．
综合可得 1≤

c

b

＜

1+ 5

2

．
故答案为[1，

1+ 5

2

）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理以及一元二次不等式的解法，属于中档题．