Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，设直线l切圆O于点P，AB为圆O的任意一条不与l垂直的直径，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D．求证：PC=PD，且AP平分∠CAB．

Answer 1

分析：连结OP，可得OP⊥l，结合题意AC⊥l且BD⊥l，得OP∥AC∥BD，再由平行线的性质结合OA=OB证出PC=PD．△OPA中根据OA=OP得∠OAP=∠APO，由AC∥OP得∠PAC=∠APO，可得∠PAC=∠OAP，即AP平分∠CAB．

解答：证明：连结OP，
∵直线l与圆O相切于P点，
∴OP⊥l
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴OP∥AC∥BD，
∵OA=OB，∴PC=PD，
∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO
∵AC∥OP，得∠PAC=∠APO，
∴∠PAC=∠OAP，即AP平分∠CAB．

点评：本题给出过直径的两端作圆的切线的垂线，求证切点到两个垂足的距离相等，并且证明角相等．着重考查了圆的切线的性质定理、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识，属于中档题．