Question

已知函数f(x)=

x

+a，g(x)=x+2a

x

(a＞0)，
（1）当a=1时，求|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|的最小值；  
（2）|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5对x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用换元法，可将求|

ag(x)+3f(x)

f(x)

| 的最小值转化为利用基本不等式可求最小值；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．构造函数φ（t）=at²-2t-a³，因为△=4+4a⁴＞0，结合该函数的图象可求实数a的取值范围．

解答：解：令f(x)=

x

+a=t，则g（x）=t²-a²，|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|=|

at2+3t-a3

t

|．
（1）当a=1时，t≥1，故t-

1

t

+3=

(t-1)(t+1)

t

+3≥3，因此|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|=|

t2+3t-1

t

|=|t-

1

t

+3|≥3，当且仅当t=1即x=0时取等号．
所以|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|的最小值是3；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．因此①式或②式对于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．显然at²+8t-a³=a（t²-a²）+8t＞0，故②式不成立．
令φ（t）=at²-2t-a³，因为△=4+4a⁴＞0，
结合该函数的图象可得

φ(1+a)＞0 1 a ＜1+a

或

φ(2+a)＞0 1 a ＞2+a

?（ I）

2a2-a-2＞0 a2+a-1＞0

或（ II）

2a2+a-2＞0 a2+2a-1＜0

．
结合a＞0可知不等式组（ I）的解为a＞

17 +1

4

，不等式组（ II）无解．所以a＞

17 +1

4

．

点评：本题以函数为载体，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，关键是换元转化．