Question

5．已知函数f（x）=|x-a|+|x-5|．
（1）若不等式f（x）≥3恒成立，求a的取值范围；
（2）当a=2时，求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．

Answer 1

分析 （1）问题转化为|a-5|≥3，解出即可；（2）将a=2的值代入，问题转化为关于关于x的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由于f（x）=|x-a|+|x-5|≥|a-5|，
所以f（x）≥3?|a-5|≥3，
解得a≤2或a≥8．（5分）
（2）$f（x）=|x-2|+|x-5|=\left\{{\begin{array}{l}{7-2x，x＜2}\\{3，2≤x≤5}\\{2x-7，x＞5}\end{array}}\right.$，
原不等式等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x＜2}\\{7-2x≥{x^2}-8x+15}\end{array}}\right.$，
或$\left\{{\begin{array}{l}{2≤x≤5}\\{3≥{x^2}-8x+15}\end{array}}\right.$，
或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞5}\\{2x-7≥{x^2}-8x+15}\end{array}}\right.$
解得$2≤x≤5+\sqrt{3}$，
原不等式解集为$\{x|2≤x≤5+\sqrt{3}\}$．（10分）

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．