【题目】已知函数有两个极值点
,且
.
(1)求实数的取值范围;
(2)若,证明:
.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)在
上有两个不等的零点.设
,由
研究
在
上的单调性和极值,由极值确定
有零点个数,得
的范围;
(2)由(1),
,
.,
,要证
,只需证
,由
得
,然后令
,把
用
表示,这样
就转化为
的函数,通过研究
的函数的单调性和最值得出结论.
(1)的定义域为
,
设,则
在
内有两个变号零点,
令得
,令
得
∴在
递增,在
递减
∴
又当时,
,在
没有两个零点
当时,
(令,因为
,所以
在
递减,
)
∴使得
,
使得
当时,
,∴
递减
当时,
,∴
递增
当时,
,∴
递增;
当时,
,
递减
∴分别为
的极小值与极大值点
综上,的取值范围为
(2)由(1)知,∴
,∴
∴t时,∴
要证,只需证
∵由(1)得
∴得
,即
设,则
,∴
,∴
∴
下面说明
即,设
∴
∴递增,∴
即
∴成立
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,点A为该椭圆的左顶点,过右焦点
的直线l与椭圆交于B,C两点,当
轴时,三角形ABC的面积为18.
求椭圆
的方程;
如图,当动直线BC斜率存在且不为0时,直线
分别交直线AB,AC于点M、N,问x轴上是否存在点P,使得
,若存在求出点P的坐标;若不存在说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程
(
为参数).直线
的参数方程
(
为参数).
(Ⅰ)求曲线在直角坐标系中的普通方程;
(Ⅱ)以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,当曲线
截直线
所得线段的中点极坐标为
时,求直线
的倾斜角.
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【题目】有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形
(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中
是以
为圆心、
的扇形,且弧
,
分别与边
,
相切于点
,
.
(1)当长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;
(2)当的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线与曲线
分别交于
两点(异于原点
),定点
,求
的面积.
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【题目】如图,是圆
的直径,点
是圆
上异于
,
的点,直线
平面
,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)记平面与平面
的交线为
,试判断直线
与平面
的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)设,求二面角
大小的取值范围.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0),定义椭圆C上的点M(x0,y0)的“伴随点”为
.
(1)求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程;
(2)如果椭圆C上的点(1,)的“伴随点”为(
,
),对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N,求
的取值范围;
(3)当a=2,b=时,直线l交椭圆C于A,B两点,若点A,B的“伴随点”分别是P,Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O,求△OAB的面积.
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