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    设f(x)＝lnx－(x≥1)，g(x)＝2(x－1)－(x2＋1)lnx(x≥1)．

    (1)求证f(x)和g(x)在[1，＋∞)上均为减函数；

    (2)设b＞1，证明不等式．

    答案：
    解析：

    　　解：证明(1)f(x)＝lnx－(x≥1)，

    　　

    　　≤0．

    　　∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数．

    　　g(x)＝2(x－1)－(x2＋1)lnx

    　　(x)＝2－[2xlnx＋(x2＋1)·]＝－2xlnx－

    　　＝－[2xlnx＋]．

    　　当x≥1时，2xlnx≥0，＞0，故(x)＜0

    　　所以g(x)在[1，＋∞)上也为减函数．

    　　(2)∵b＞1，又∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数，

    　　∴f(b)＜f(1)即lnb－＜0，

    　　∴．①

    　　同理，可得g(b)＜g(1)，即2(b－1)－(b2＋1)lnb＜0，

    　　∴＞　②

    　　由①②可得＜＜．


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