Question

设函数f（x）=

ax2+bx+c

（a＜0）的定义域为D，值域为A．
（1）若a=-1，b=2，c=3，则D=

[-1，3]

，A=

[0，+∞）

；
（2）若所有点（s，t）（s∈D，t∈A）构成正方形区域，则a的值为

-4

．

Answer 1

分析：（1）将a，b及c的值代入f（x）解析式，求出定义域与值域即可；
（2）由所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域知，函数的定义域与值域的区间长度相等，利用二次函数的最值与二次方程的根，建立a，b，c关系式，求得答案．

解答：解：（1）将a=-1，b=2，c=3代入得：f（x）=

-x2+2x+3

≥0，即A=[0，+∞）；
∵-x²+2x+3≥0，即（x-3）（x+1）≤0，
解得：-1≤x≤3，即D=[-1，3]；
（2）设函数u=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：x₁，x₂，x₁＜x₂，
∵s为定义域的两个端点之间的部分，
就是[x₁，x₂]f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）_max]，
且所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区，
∴|x₁-x₂|=

umax

，
∵|x₁-x₂|=

2 b2-4ac

2a

=

4ac-b2 4a

，
∴

b2-4ac

a2

=

4ac-b2

4ac

，
∴a=-4．
故答案为：（1）[0，+∞）；[-1，3]；（2）-4

点评：此题考查了一元二次方程的解法，以及函数的值域，弄清题意是解本题的关键．