Question

已知抛物线y²=4x，直线l：y=-

1

2

x+b与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）联立

y=- 1 2 x+b y2=4x

得y²+8y-8b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．
（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得-1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=

-2b

5

，得S_△AOB=

1

2

|AB|d=4

2

b3+2b2

．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）联立

y=- 1 2 x+b y2=4x

得：y²+8y-8b=0．
依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞-2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设圆心Q（x₀，y₀），则应有x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

=-4．
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y₀|=4，
又|AB|=

(1+4)[(y1+y2)2-4y1•y2]

=

5(64+32b)

．
所以|AB|=2r，
即

5(64+32b)

=8，
解得b=-

8

5

．
所以x₀=

x1+x2

2

=2b+8=

24

5

，
所以圆心为（

24

5

，-4）．
故所求圆的方程为（x-

24

5

）²+（y+4）²=16．．
（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，
∴b＜0，
又l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞-2，
∴-2＜b＜0，
直线l：y=-

1

2

x+b整理得x+2y-2b=0，点O到直线l的距离d=

|-2b|

5

=

-2b

5

，
所以∴S_△AOB=

1

2

|AB|d=-4b

2

2+b

=4

2

b3+2b2

．  
令g（b）=b³+2b²，-2＜b＜0，
g′（b）=3b²+4b=3b（b+

4

3

），
∴g（b）在（-2，-

4

3

）增函数，在（-

4

3

，0）是减函数，
∴g（b）的最大值为g（-

4

3

）=

32

27

．
∴当b=-

4

3

时，△AOB的面积取得最大值

32 3

9

．

点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．