Question

已知α∈(-

π

2

，0)，cos(α+

π

12

)=

2

3

，则sin(2α+

π

3

)=

-

4 15 +1

18

．

Answer 1

分析：视角α+

π

12

看作整体，将2α+

π

3

转化为 2（α+

π

12

）+

π

6

，利用两角和的正弦公式，二倍角公式计算化简．

解答：解：∵α∈(-

π

2

，0)，cos(α+

π

12

)=

2

3

，∴cos2(α+

π

12

)=2cos2(α+

π

12

)-1=2×

4

9

-1=-

1

9

＜0，
而2（α+

π

12

）∈（-

5π

6

，

π

6

），所以2（α+

π

12

）∈（-

5π

6

，-

π

2

），
所以sin2(α+

π

12

)=-

1-(- 1 9 )2

=-

4 5

9

，
所以sin(2α+

π

3

)=sin[2（α+

π

12

）+

π

6

]=sin[2（α+

π

12

）]cos

π

6

+cos[2（α+

π

12

）sin

π

6

]
=（-

4 5

9

）×

3

2

+(-

1

9

)×

1

2

=-

4 15 +1

18

故答案为：-

4 15 +1

18

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数值的计算，二倍角公式的应用，考查角的代换，转化、计算能力．将2α+

π

3

转化为 2（α+

π

12

）+

π

6

是关键，在求sin2(α+

π

12

)时，应尽可能缩小2（α+

π

12

）的取值范围，使sin2(α+

π

12

)的正负取值准确化．