Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N*），则n≥2时，a₁²+a₂²+…+a_n²=（　　）

• A． $\frac{1}{3}（{4^n}-1）$
• B． $\frac{1}{3}（{4^n}+8）$
• C． $\frac{1}{3}{（{2^n}-1）^2}$
• D． $\frac{1}{3}{（{2^n}+4）^2}$

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N*），当n=1时，a₁=2．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1¹，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N*），
∴当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴${a}_{n}^{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
则n≥2时，a₁²+a₂²+…+${a}_{n}^{2}$=4+4×$\frac{{4}^{n-1}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}+8）$．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．