Question

已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P-ABC的体积为（　　）

A． 3 4 3

B． 9 4 3

C． 3 2 3

D． 27 4 3

Answer 1

设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为0，
∵ABC是等边三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°
∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心（此时四心合一）
∵PQ是直径，
∴∠PCQ=90°．
∴PC=4cos30°=2

3

，
∴PO=2

3

•cos30°=3．
OC=2

3

sin30°=

3

O是等边△ABC的重心
∴OC=

2

3

OH
∴等边三角形ABC的高OH=

3 3

2

，
AC=

3 3

2

sin60°=3．
三棱锥P-ABC体积=

1

3

PO•S_△ABC=

1

3

×3×

1

2

×

3 3

2

×3=

9 3

4

．
故选：B．