Question

如图，DA⊥平面ABC，BC⊥AC，E、F分别为BD与CD的中点，DA=AC=BC=2．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）证明：EF⊥平面DAC；
（3）求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

（1）证明：连接EF，
∵E，F为中点，∴EF∥BC，
∵EF?平面ABC，BC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵DA⊥面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC，
∵BC⊥AC，AD∩AC=A，∴BC⊥平面DAC
又∵EF∥BC，∴EF⊥平面DAC；
（3）连接AE，AF，由（2）知EF⊥平面ABC，
∴EF为三棱锥E-ADF的高，EF=

1

2

BC=1，
又AD=AC，AD⊥AC，F为CD的中点，
∴AF⊥CD，AF=

2

，DF=

2

，
∴VD-AEF=VE-ADF=

1

3

×S△ADF×EF=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×1=

1

3

．