Question

（2012•三明模拟）已知函数f(x)=sin(x+

π

3

)-

3

cos2

x

2

．
（Ⅰ）将函数f（x）的图象向上平移

3

2

个单位后得到函数g（x）的图象，求g（x）的最大值；
（Ⅱ）设D={(x，y)|

x≤3 y≤3 x+y≥5

}，若P∈D，问：是否存在直线OP（O为坐标原点），使得该直线与曲线y=f（x）相切？若存在，求出直线OP的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据和角公式及二倍角公式对已知函数化简可得f（x）=

1

2

sinx-

3

2

，进而可求g（x），根据正弦函数的性质即可求解
（Ⅱ）作出

x≤3 y≤3 x+y≥5

的区域D，结合图形可知直线OP的斜率的取值范围是kOP∈[

2

3

，

3

2

]，利用导数的几何意义可求f′(x)=∈[-

1

2

，

1

2

]，即可判断

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin(x+

π

3

)-

3

cos2

x

2

=

1

2

sinx+

3

2

cosx-

3

•

1+cosx

2

=

1

2

sinx-

3

2

（3分）
所以g(x)=f(x)+

3

2

=

1

2

sinx，
从而(g(x))max=

1

2

，此时x=2kπ+

π

2

(k∈z)．（6分）
（Ⅱ）由

x≤3 y≤3 x+y≥5

知，区域D如右图所示．
于是直线OP的斜率的取值范围是kOP∈[

2

3

，

3

2

]，（9分）
又由f(x)=

1

2

sinx-

3

2

知，f′(x)=

1

2

cosx，于是f′(x)=∈[-

1

2

，

1

2

]，
因为

1

2

＜

2

3

，所以直线OP不可能与函数y=f（x）的图象相切（12分）

点评：本题主要考查了三角公式在三角函数式的化简中的应用，正弦函数性质的应用及导数的几何意义的综合应用，本题的考查内容比较新颖