Question

已知数列{a_n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a_n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：
①，
②f（x）=x²，
③f（x）=e^x，
④，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：设数列{a_n}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（a_n）}为等差数列，即可得到结论．
解答：解：设数列{a_n}的公比为q（q≠1）
①由题意，lnf（a_n）=ln，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln-ln=ln=-lnq是常数，∴数列{lnf（a_n）}为等差数列，满足题意；
②由题意，lnf（a_n）=ln，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln-ln=lnq²=2lnq是常数，∴数列{lnf（a_n）}为等差数列，满足题意；
③由题意，lnf（a_n）=ln，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln-ln=a_n+1-a_n不是常数，∴数列{lnf（a_n）}不为等差数列，不满足题意；
④由题意，lnf（a_n）=ln，∴lnf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln-ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a_n）}为等差数列，满足题意；
综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①②④
故选C．
点评：本题考查新定义，考查对数的运算性质，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．