Question

（2012•江西）如图，从A₁（1，0，0），A₂（2，0，0），B₁（0，1，0，）B₂（0，2，0），C₁（0，0，1），C₂（0，0，2）这6个点中随机选取3个点．
（1）求着3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2）求着3点与原点O共面的概率．

Answer 1

分析：根据题意，分情况讨论，列举可得从6点中随机取出3个点的情况数目，
（1）由正三棱锥的定义，在列举的结果中分析可得选取的3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案；
（2）根据题意，在列举的结果中分析可得选取的3点与原点O共面的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

解答：解：从这6点中随机取出3个点，其所有的情况有
x轴上取2个点的有A₁A₂B₁，A₁A₂B₂，A₁A₂C₁，A₁A₂C₂，共4种情况，
y轴上取2个点的有B₁B₂A₁，B₁B₂A₂，B₁B₂C₁，B₁B₂C₂，共4种情况，
Z轴上取2个点的有C₁C₂A₁，C₁C₂A₂，C₁C₂B₁，C₁C₂B₂，共4种情况，
3个点在不同的坐标轴上有A₁B₁C₁，A₁B₁C₂，A₁B₂C₁，A₁B₂C₂，A₂B₁C₁，A₂B₁C₂，A₂B₂C₁，A₂B₂C₂，共8种情况，
则从这6点中随机取出3个点，其所有的情况共有4+4+4+12=20种，
（1）选取的3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的情况有A₁B₁C₁，A₂B₂C₂，共2种，
则其概率P₁=

2

20

=

1

10

，
（2）选取的3点与原点O共面的情况，有A₁A₂B₁，A₁A₂B₂，A₁A₂C₁，A₁A₂C₂，B₁B₂A₁，B₁B₂B₂，B₁B₂C₁，B₁B₂C₂，C₁C₂A₁，C₁C₂A₂，C₁C₂B₁，C₁C₂B₂，共12种，
则选取的3点与原点O共面的概率P₂=

12

20

=

3

5

．

点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键是结合空间几何的知识，列举得到（1）（2）小题中事件的情况数目．