Question

（2012•江西）如图，从A₁（1，0，0），A₂（2，0，0），B₁（0，2，0），B₂（0，2，0），C₁（0，0，1），C₂（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及数学期望EV．

Answer 1

分析：（1）基本事件空间即6个点中随机取3个点，共有20种取法，研究的事件即4点共面所占基本事件为先选一个面，再选3个点，共有12种选法，故由古典概型概率计算公式即可得所求；
（2）先确定随机变量V的所有可能取值，再利用古典概型概率计算公式分别计算随机变量取值的概率，最后列出分布列，利用期望计算公式计算V的期望

解答：解：（1）从6个点中随机选取3个点共有

C

3 6

=20种取法，选取的三个点与原点在一个平面内的取法有

C

2 3

C

3 4

=12种，
∴V=0的概率P（V=0）=

12

20

=

3

5

（2）V的所有可能取值为0，

1

6

，

1

3

，

2

3

，

4

3

P（V=0）=

3

5

P（V=

1

6

）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

P（V=

1

3

）=

C 2 3

C 3 6

=

3

20

P（V=

2

3

）=

C 2 3

C 3 6

=

3

20

P（V=

4

3

）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

∴V的分布列为

V	0	1 6	1 3	2 3	4 3
P	3 5	1 20	3 20	3 20	1 20

由V的分布列可得
EV=0×

3

5

+

1

6

×

1

20

+

1

3

×

3

20

+

2

3

×

3

20

+

4

3

×

1

20

=

9

40

点评：本题主要考查了古典概型的概率的计算方法和计算公式，利用组合数公式进行计数的方法，离散型随机变量分布列的意义和期望的计算，属中档题