Question

（2007•静安区一模）（文）已知等差数列{a_n}的首项a₁=0且公差d≠0，b_n=2^an（n∈N^*），S_n是数列{b_n}的前n项和．
（1）求S_n；
（2）设T_n=

Sn

bn

（n∈N^*），当d＞0时，求

lim

n→+∞

Tn．

Answer 1

分析：（1）由a_n=（n-1）d，b_n=2^（n-1）d可得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2⁰+2^d+2^2d+…+2^（n-1）d?由d≠0得2^d≠1，，利用等比数列的求和公式可求
（2）T_n=

Sn

bn

=

1-(2d)n 1-2d

2(n-1)d

=

1-2nd

2(n-1)d-2nd

，从而可得，由d＞0时，2^d＞1 可求

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

1-2nd

2dn-d-2dn

解答：解：（文）（1）a_n=（n-1）d，b_n=2^an=2^（n-1）d??（4分）
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2⁰+2^d+2^2d+…+2^（n-1）d?
由d≠0得2^d≠1，∴S_n=

1-(2d)n

1-2d

．                            （8分）
（2）T_n=

Sn

bn

=

1-(2d)n 1-2d

2(n-1)d

=

1-2nd

2(n-1)d-2nd

，（10分）
∴

lim

n→∞

Tn= 

lim

n→∞

1- 2nd

2nd-d-2nd

=

lim

n→∞

1-(2d)n

(2d)n-1-(2d)n

=

lim

n→∞

1 2dn -1

1 2d -1

=

2d

2d-1

点评：本题主要考查了数列极限的求解，解题的关键是利用等比数列的求和公式求出S_n，属于数列知识的综合应用．