Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；
（3）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y=x+b，建立关于a和b的方程组，解之即可；
（2）处理函数的单调性问题通常采用导法好用，若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，则f′(x)=x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立；
（3）对a进行分类讨论：当a=0时，当a＜0时，当a＞0时．把a代入f（x）中确定出f（x）的解析式，然后根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，分别令导函数大于0和小于0得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f（x）的最小值，根据最小值小于0得到函数没有零点即零点个数为0．

解答：解：（1）因为：f′(x)=x-

a

x

（x＞0），又f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b
所以

2-aln2=2+b 2- a 2 =1

解得：a=2，b=-2ln2（3分）
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上恒成立．则f′(x)=x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x²在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1（13分）
（3）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；（7分）
当a＜0时，f′(x)=x-

a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵f(1)=

1

2

＞0，f(e

1

2

)=

1

2

e

2

a

-1＜0，所以方程有惟一解．（8分）
当a＞0时，f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x+ a )(x- a)

x

因为当x∈(0，

a

)时，f'（x）＜0，f（x）在(0，

a

)内为减函数；
当x∈(

a

，+∞)时，f（x）在(

a

，+∞)内为增函数．
所以当x=

a

时，有极小值即为最小值f(

a

)=

1

2

a-aln

a

=

1

2

a(1-lna)．（10分）
当a∈（0，e）时，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)＞0，此方程无解；
当a=e时，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)=0．此方程有惟一解x=

a

．
当a∈（e，+∞）时，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)＜0
因为f(

1

2

)=

1

2

＞0且1＜

a

，所以方程f（x）=0在区间(0，

a

)上有惟一解，（12分）
因为当x＞1时，（x-lnx）'＞0，所以x-lnx＞1
所以x＞lnx，f(x)=

1

2

x2-alnx＞

1

2

x2-ax
因为2a＞

a

＞1，所以f(x)＞

1

2

(2a)2-2a2=0
所以方程f（x）=0在区间(

a

，+∞)上有惟一解．
所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有惟两解．（14分）
综上所述：当a∈[0，e）时，方程无解；
当a＜0或a=e时，方程有惟一解；
当a＞e时方程有两解．（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查分类讨论的思想，计算能力，属于中档题．此类题解答的关键是学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函数零点的判断方法，是一道综合题．