Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为-

4

5

，求tanα的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若α∈[0，

2π

3

]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式，并指出函数的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可得B（-

4

5

，

3

5

），根据三角函数的定义得；
（2）同理可得B的坐标，注意两种情况，然后由三角函数的定义可得；
（3）把弓形转化为扇形和三角形的面积之差，由导数可得函数的单调性，进而可得值域．

解答：解：（1）由题意可得B（-

4

5

，

3

5

），根据三角函数的定义得：tanα=

y

x

=-

3

4

；
（2）若△AOB为等边三角形，则B（

1

2

，

3

2

）或（

1

2

，-

3

2

）
可得tan∠AOB=

y

x

=

3

或-

3

，故∠AOB=

π

3

，或-

π

3

；
故与角α终边相同的角β的集合为：{β|β=

π

3

+2kπ，k∈Z}∪{β|β=-

π

3

+2kπ，k∈Z}；
（3）若α∈[0，

2π

3

]，则S_扇形=

1

2

αr²=

1

2

α，而S_△AOB=

1

2

×1×1×sinα=

1

2

sinα，
故弓形的面积S=S_扇形-S_△AOB=

1

2

α-

1

2

sinα，α∈[0，

2π

3

]，
求导数可得S′=

1

2

-

1

2

cosα=

1

2

（1-cosα）＞0，故S在区间[0，

2π

3

]上单调递增，
S（0）=0，S（

2π

3

）=

π

3

-

3

4

，
故函数的值域为：[0，

π

3

-

3

4

]

点评：本题考查三角函数的定义和扇形的面积公式，属基础题．