Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）设函数g（x）=-

a

x

．若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）将a=2代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f′（1），切点为（1，f（1）），根据点斜式即可写出切线方程；
（Ⅱ）由题意知先求函数f（x）的定义域，再由（1）得出的导数，设h（x）=ax²-2x+a．下面对a进行分类讨论：①当若0＜a＜1时，②当a≥1时，由此可知f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）存在一个x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），则ax₀＞2lnx₀，等价于a＞

2lnx0

x0

，令F（x）=

2lnx

x

，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）_min”．利用导数易求其最小值

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=2（x-

1

x

）-2lnx，
f（1）=0，f′（x）=2（1+

1

x2

）-

2

x

．
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=2．  
从而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0．       
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． 
∵f′（x）=

ax2-2ax+a

x2

，
不妨设h（x）=ax²-2x+a，
当a＞0时，△=4-4a²，
①若0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1- 1-a2

a

；
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，

1- 1-a2

a

）和（

1- 1-a2

a

，+∞）；
②若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
（Ⅲ）因为存在一个x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
则ax₀＞2lnx₀，等价于a＞

2lnx0

x0

．
令F（x）=

2lnx

x

，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）_min”．
对F（x）求导，得F′（x）=

2(1-lnx)

x2

．
因为当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．
所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．时f（x） 在（0，+∞）上单调递增．

点评：本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．