Question

已知A，B，C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（

π

2

，

3π

2

）．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（Ⅱ）求y=

1

3

（3sinαcosα-

AC

•

BC

+1）的范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域

专题：综合题,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）用坐标表示

AC

、

BC

，由|

AC

|=|

BC

|，求出角α的值；
（Ⅱ）由y=

1

3

（3sinαcosα-

AC

•

BC

+1）=sinα+cosα+sinαcosα，设sinα+cosα=t，求出t的取值范围，得sinαcosα=

t2-1

2

，把函数化为y=f（t），求出y的取值范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
∴|

AC

|=

(cosα-3)2+sin2α

=

10-6cosα

，
|

BC

|=

cos2α+(sinα-3)2

=

10-6sinα

，
∵|

AC

|=|

BC

|，
∴sinα=cosα；
又α∈（

π

2

，

3π

2

），∴α=

5π

4

；
（Ⅱ）∵y=

1

3

（3sinαcosα-

AC

•

BC

+1）=sinα+cosα+sinαcosα，
设sinα+cosα=t，
∴t=

2

sin（α+

π

4

），且α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴α+

π

4

∈（

3π

4

，

7π

4

），
∴sin（α+

π

4

）∈[-1，

2

2

），
∴t∈[-

2

，1），
又sinαcosα=

t2-1

2

，
∴y=t+

t2-1

2

=

1

2

t²+t-

1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴-1≤y＜1；
∴函数y的取值范围是[-1，1）．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应结合三角函数的知识进行解答，是综合性题目．