Question

一半径为2

2

米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮按逆时针方向旋转，每分钟转动5圈，现在当水轮上点P从水中浮现时，（图中点P₀）开始计时，试探究：
（1）OP旋转的角速度ω是多少（单位：弧度/秒）
（2）建立如图所示的直角坐标系，设嗲P距离水面的高度z（米）与时间t（秒）的函数关系为z=f（t）=Asin（ωx+φ）+2，其中A＞0，而φ（-

π

2

＜φ＜0）是以Ox为始边，OP₀为终边的角，请写出函数f（t）的解析式
（3）点P第二次到达最高点需要的时间是多少秒？

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得，OP旋转的角速度ω=

5×2π

60

，计算可得速度ω．
（2）由条件可得f（t）=2

2

sin（

π

6

t+φ）+2，把点（0，0）代入可得sinφ=-

2

2

．结合-

π

2

＜φ＜0，可得φ 的值，可得f（t）的解析式．
（3）令 z=f（t）=2

2

+2，求得t的值．再根据水轮转一周需要

60

5

秒，求得点P第二次到达最高点需要的时间．

解答： 解：（1）由题意可得，OP旋转的角速度ω=

5×2π

60

=

π

6

（弧度/秒）．
（2）易得A=2

2

，∴z=f（t）=2

2

sin（

π

6

t+φ）+2，
把点（0，0）代入可得sinφ=-

2

2

．
结合-

π

2

＜φ＜0，可得φ=-

π

4

，∴z=f（t）=2

2

sin（

π

6

t-

π

4

）+2．
（3）令  z=f（t）=2

2

sin（

π

6

t-

π

4

）+2=2

2

+2，求得

π

6

t-

π

4

=

π

2

，∴t=4.5（秒）．
再根据水轮转一周需要

60

5

=12秒，故点P第二次到达最高点需要的时间是4.5+12=16.5秒．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，属于中档题．