Question

已知a，b∈R，f（x）=x²-ax，g（x）=ax²+2bx+3，且a≠0．
（1）解关于x的不等式f（x）＞6a²；
（2）当x∈[1，3]时，不等式f（x）+4＞0恒成立，求a的取值范围；
（3）对任意的x∈R，b∈[0，2]，不等式g（x）≥x+b恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：分类讨论,转化思想,不等式的解法及应用

分析：（1）解含有参数的一元二次不等式，能因式分解的先因式分解，再对参数进行讨论；
（2）将不等式恒等变形，转化为双勾函数，利用双勾函数的单调性，求出最小值；
（3）将不等式恒等变形，转化二次函数，利用二次函数的单调性，求出最大值，再利用双勾函数的单调性，求出最大值．

解答： 解：（1）由f（x）＞6a²得：x²-ax-6a²?（x+2a）（x-3a）＞0，
当a＞0时，-2a＜3a，不等式的解集为（-∞，-2a）∪（3a，+∞）；
当a=0时，-2a=3a=0，不等式的解集为（-∞，0）∪（0，+∞）；
当a＜0时，3a＜-2a，不等式的解集为（-∞，3a）∪（-2a，+∞）；
（2）f（x）+4＞0?x²-ax+4＞0，在x∈[1，3]时恒成立，
∴a＜x+

4

x

，令h（x）=x+

4

x

，则h（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
∴h（x）_min=h（2）=4，∴a＜4，即a的取值范围为（-∞，0）∪（0，4）；
（3）g（x）≥x+b，?ax²+2bx+3≥x+b?ax²≥（1-2b）x+b-3
当x=0时，不等式成立，
当x≠0时，a≥

b-3

x2

+

1-b

x

，令t=

1

x

则t∈（-∞，0）∪（0，+∞），
令：h（t）=（b-3）t²+（1-b）t，要使a≥h（t）成立，即求h（t）的最大值，
∵b-3＜0，∴h（t）_max=

-(1-b)2

4(b-3)

=

1

4

•

(3-b)2+4(b-3)+4

3-b

=

1

4

•[(3-b)+

4

3-b

-4]，
令m=3-b，则m∈[1，3]，令k（m）=

1

4

•(m+

4

m

-4)，则k（m）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，
又∵k（1）=

1

4

，k（3）=

1

12

，∴k（m）_max=

1

4

，
∴a≥

1

4

，即a的取值范围为（-∞，

1

4

]．

点评：本题考查了，含有参数的一元二次不等式的解法，要对参数进行讨论，同时考查了不等式的恒成立问题，利用双勾函数的单调性，解决求函数的最值．属于中档题．