Question

已知函数y=

ax2+2ax+1

的定义域为R．
（1）求a的取值范围．
（2）若函数的最小值为

2

2

，解关于x的不等式x²-x-a²-a＜0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由函数y=

ax2+2ax+1

的定义域是R，得出ax²+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；
（2）由题意得ax²+2ax+1的最小值是

1

2

，求出a的值，代入不等式x²-x-a²-a＜0，求解集即可．

解答： 解：（1）∵函数y=

ax2+2ax+1

的定义域为R，
∴a=0时，满足题意；
a＞0时，△=4a²-4a≤0，解得0＜a≤1；
∴a的取值范围是{a|0≤a≤1}；
（2）∵函数y的最小值为

2

2

，
∴

ax2+2ax+1

≥

2

2

，a∈[0，1]；
∴ax²+2ax+1≥

1

2

；
当a=0时，不满足条件；
当1≥a＞0时，ax²+2ax+1的最小值是

4a-4a2

4a

=

1

2

，∴a=

1

2

；
∴不等式x²-x-a²-a＜0可化为x²-x-

3

4

＜0，
解得-

1

2

＜x＜

3

2

；
∴不等式的解集是{x|-

1

2

＜x＜

3

2

}．

点评：本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．