Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n+1，

1

Sn+n+3

）在函数y=

1

2x+1

的图象上
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）（文科）如b_n=n（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和T_n．
（理科）若b_n=

n

an+1-an

，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N，都有T_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题设得

1

Sn+n+3

=

1

2n+1+1

，从而得到an=Sn-Sn-1=2n-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）（文）由bn=n•2n，利用错位相减法能求出{b_n}的前n项和为T_n．
（理）bn=

n

2n+1-2n

=

n

2n

，由此利用错位相减法能证明Tn ＜2．

解答： （1）解：由题设得

1

Sn+n+3

=

1

2n+1+1

，
∴Sn+n+3=2n+1+1，Sn=2n+1-n-2，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，
当n=1时也满足，∴an=2n-1．…（6分）
（2）（文）解：bn=n•2n，设{b_n}的前n项和为T_n，
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，（1）
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，（2）
（1）-（2），-T_n=1×2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n×2n+1 ，
∴Tn =(n-1)•2n+1+2．…（13分）
（理）证明：bn=

n

2n+1-2n

=

n

2n

，
Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，①

1

2

Tn =

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②，整理得
Tn =2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

2+n

2n

＜2．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的证明，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．